Artiste doué pour le dessin, il fréquenta les Beaux-Arts et fut remarqué par Jacques Feyder qui lui confia l’affiche de son film "Gribiche".
Mais un sa beauté virile, son physique athlétique et sa voix si étrange, si caractéristique ne pouvaient l’en laisser à ses pinceaux.
Elève chez Charles Dullin, le maître ne s’y trompa pas. L’aventure théâtrale de Cuny commença en 1931 dans une pièce de Jean Giono "Le bout de la route ". Paul Claudel, la Comédie française, Jean Vilar, la compagnie Renaud-Barrault surent mettre en relief son immense talent en lui confiant leurs meilleurs rôles.
Son succès sur les planches finit par intéresser le cinéma qui lui proposa ses premiers rôles en 1939. Toutefois, ce fut en 1942, grâce à Marcel Carné, qu’il transperça l’écran dans "Les Visiteurs d’un soir" où son interprétation du ménestrel Gilles allait le rendre à jamais indissociable de ce chef-d’œuvre.